三角函数高考题汇编_三角函数高考题

1.高考数学三角函数公式口诀

2.地标性高考题：三角函数和差化积公式的应用

分情况讨论：1.K为偶数,即k+1,k-1为奇数时，原式=sin(-a)*cos（π-a)/sin(π+a)*cosa=-sina*(-cosa)/-sina*cosa=-1

2.K为奇数且K不等于1，即k+1,k-1为偶数时，原式=sin(π-a)*cos(-a)/sina*cosa=sina*cosa/sina*cosa=1

3.当k=1时，原式=sin(π-a)*cos(-a)/sina*cos（π+a)=sina*cosa/sina*(-cosa)=-1

高考数学三角函数公式口诀

本题主要是三角函数的概念与性质，难度一般，与今年高考相似。

1）f（x）=asin2ωx+√3（cosωx+1）-√3=√（a?+1）sin（2ωx+φ）

因为f（x）max=2，所以√（a?+1）=2，a＞0，a=√3，又因为T=2π/2ω=π，ω=1

即sinφ=1/2，即φ=π/6，

f（x）=2sin（2x+π/6），对称轴2x+π/6=kπ+π/2，x=kπ/2+π/3，k属于整数

2）f（a）=4/3，即sin（2a+π/6）=2/3，所以cos（2a+π/6）=±√5/3，

sin（4a+π/6）=sin（2a+2a+π/6）=sin2acos（2a+π/6）+cos2asin（2a+π/6）

sin（2a+π/6）=2/3=sin2acosπ/6+cos2asinπ/6，然后用sin?2a+cos?2a=1，解出sin2a与cos2a的值，我没有笔，你自己算吧，口算算不出来，然后带入即可

地标性高考题：三角函数和差化积公式的应用

　高考数学所运用的公式多且难记，为了帮助同学们在学习上浪费不必要的时间，我在这里为同学们整理出三角函数的公式和口诀，方便同学们更加容易去理解与牢记公式。

　 公式一：

　设?为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　sin(2k?+?)=sin? (k?Z)

　cos(2k?+?)=cos? (k?Z)

　tan(2k?+?)=tan? (k?Z)

　cot(2k?+?)=cot? (k?Z)

　 公式二：

　设?为任意角，?+?的三角函数值与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?+?)=-sin?

　cos(?+?)=-cos?

　tan(?+?)=tan?

　cot(?+?)=cot?

　 公式三：

　任意角?与 -?的三角函数值之间的关系：

　sin(-?)=-sin?

　cos(-?)=cos?

　tan(-?)=-tan?

　cot(-?)=-cot?

　 公式四：

　利用公式二和公式三可以得到?-?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?-?)=sin?

　cos(?-?)=-cos?

　tan(?-?)=-tan?

　cot(?-?)=-cot?

　 公式五：

　利用公式一和公式三可以得到2?-?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(2?-?)=-sin?

　cos(2?-?)=cos?

　tan(2?-?)=-tan?

　cot(2?-?)=-cot?

　 公式六：

　?/2?及3?/2?与?的三角函数值之间的关系：

　sin(?/2+?)=cos?

　cos(?/2+?)=-sin?

　tan(?/2+?)=-cot?

　cot(?/2+?)=-tan?

　sin(?/2-?)=cos?

　cos(?/2-?)=sin?

　tan(?/2-?)=cot?

　cot(?/2-?)=tan?

　sin(3?/2+?)=-cos?

　cos(3?/2+?)=sin?

　tan(3?/2+?)=-cot?

　cot(3?/2+?)=-tan?

　sin(3?/2-?)=-cos?

　cos(3?/2-?)=-sin?

　tan(3?/2-?)=cot?

　cot(3?/2-?)=tan?

　(以上k?Z)

　注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

　 诱导公式记忆口诀

　※规律总结※

　上面这些诱导公式可以概括为：

　对于?/2*k ?(k?Z)的三角函数值，

　①当k是偶数时，得到?的同名函数值，即函数名不改变;

　②当k是奇数时，得到?相应的余函数值，即sin?cos;cos?sin;tan?cot,cot?tan.

　(奇变偶不变)

　然后在前面加上把?看成锐角时原函数值的符号。

　(符号看象限)

　例如：

　sin(2?-?)=sin(4?/2-?)，k=4为偶数，所以取sin?。

　当?是锐角时，2?-?(270?，360?)，sin(2?-?)<0，符号为“-”。

　所以sin(2?-?)=-sin?

　上述的记忆口诀是：

　奇变偶不变，符号看象限。

　公式右边的符号为把?视为锐角时，角k?360?+?(k?Z)，-?、180，360?-?

　所在象限的原三角函数值的符号可记忆

　水平诱导名不变;符号看象限。

　#

　各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.

　这十二字口诀的意思就是说：

　第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;

　第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”;

　第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”;

　第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”.

　上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

　#

　还有一种按照函数类型分象限定正负：

　函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

　正弦 ...........+............+............?............?........

　余弦 ...........+............?............?............+........

　正切 ...........+............?............+............?........

　余切 ...........+............?............+............?........

　同角三角函数基本关系

　同角三角函数的基本关系式

　倒数关系:

　tan cot?=1

　sin csc?=1

　cos sec?=1

　商的关系：

　sin?/cos?=tan?=sec?/csc?

　cos?/sin?=cot?=csc?/sec?

　平方关系：

　sin^2(?)+cos^2(?)=1

　1+tan^2(?)=sec^2(?)

　1+cot^2(?)=csc^2(?)

　同角三角函数关系六角形记忆法

　六角形记忆法

　构造以"上弦、中切、下割;左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

　(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数;

　(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

　(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)。由此，可得商数关系式。

　(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

　 两角和差公式

　 两角和与差的三角函数公式

　sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin?

　sin(?-?)=sin?cos?-cos?sin?

　cos(?+?)=cos?cos?-sin?sin?

　cos(?-?)=cos?cos?+sin?sin?

　tan(?+?)=(tan?+tan?)/(1-tan?tan?)

　tan(?-?)=(tan?-tan?)/(1+tan?tan?)

　 二倍角公式

　 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

　sin2?=2sin?cos?

　cos2?=cos^2(?)-sin^2(?)=2cos^2(?)-1=1-2sin^2(?)

　tan2?=2tan?/[1-tan^2(?)]

　半角公式

　半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

　sin^2(?/2)=(1-cos?)/2

　cos^2(?/2)=(1+cos?)/2

　tan^2(?/2)=(1-cos?)/(1+cos?)

　另也有tan(?/2)=(1-cos?)/sin?=sin?/(1+cos?)

　 万能公式

　sin?=2tan(?/2)/[1+tan^2(?/2)]

　cos?=[1-tan^2(?/2)]/[1+tan^2(?/2)]

　tan?=2tan(?/2)/[1-tan^2(?/2)]

　 万能公式推导

　附推导：

　sin2?=2sin?cos?=2sin?cos?/(cos^2(?)+sin^2(?))......*，

　(因为cos^2(?)+sin^2(?)=1)

　再把*分式上下同除cos^2(?)，可得sin2?=2tan?/(1+tan^2(?))

　然后用?/2代替?即可。

　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　三倍角公式

　三倍角的正弦、余弦和正切公式

　sin3?=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=4cos^3(?)-3cos?

　tan3?=[3tan?-tan^3(?)]/[1-3tan^2(?)]

　 三倍角公式推导

　附推导：

　tan3?=sin3?/cos3?

　=(sin2?cos?+cos2?sin?)/(cos2?cos?-sin2?sin?)

　=(2sin?cos^2(?)+cos^2(?)sin?-sin^3(?))/(cos^3(?)-cos?sin^2(?)-2sin^2(?)cos?)

　上下同除以cos^3(?)，得：

　tan3?=(3tan?-tan^3(?))/(1-3tan^2(?))

　sin3?=sin(2?+?)=sin2?cos?+cos2?sin?

　=2sin?cos^2(?)+(1-2sin^2(?))sin?

　=2sin?-2sin^3(?)+sin?-2sin^3(?)

　=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=cos(2?+?)=cos2?cos?-sin2?sin?

　=(2cos^2(?)-1)cos?-2cos?sin^2(?)

　=2cos^3(?)-cos?+(2cos?-2cos^3(?))

　=4cos^3(?)-3cos?

　即

　sin3?=3sin?-4sin^3(?)

　cos3?=4cos^3(?)-3cos?

　 三倍角公式联想记忆

　 ★记忆方法：谐音、联想

　正弦三倍角：3元 减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))

　余弦三倍角：4元3角 减 3元(减完之后还有“余”)

　☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

　 ★另外的记忆方法:

　正弦三倍角: 山无司令 (谐音为 三无四立) 三指的是"3倍"sin?, 无指的是减号, 四指的是"4倍", 立指的是sin?立方

　余弦三倍角: 司令无山 与上同理

　 和差化积公式

　 三角函数的和差化积公式

　sin?+sin?=2sin[(?+?)/2]?cos[(?-?)/2]

　sin?-sin?=2cos[(?+?)/2]?sin[(?-?)/2]

　cos?+cos?=2cos[(?+?)/2]?cos[(?-?)/2]

　cos?-cos?=-2sin[(?+?)/2]?sin[(?-?)/2]

　 积化和差公式

　 三角函数的积化和差公式

　sin cos?=0.5[sin(?+?)+sin(?-?)]

　cos sin?=0.5[sin(?+?)-sin(?-?)]

　cos cos?=0.5[cos(?+?)+cos(?-?)]

　sin sin?=-0.5[cos(?+?)-cos(?-?)]

　 和差化积公式推导

　附推导：

　首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

　所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

　所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

　所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

　sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

　cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

　cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

　sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

　好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

　我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

　cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

　cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

解析

结论：选项C正确.

可以和这个题对比一下： 1987年全国卷题16

已知 , 求 的值.

解法一

解法二

设 为第四象限的角，若 ，则

解

又∵

∴

∵ 为第四象限角，

∴ ,

∴ ,

∴ ,

,

提炼与提高

和差化积公式共有以下4个：

在前面3个题的解答过程中，都用到了和差化积公式。

初等数学是很成熟的内容，但不同的老师在教法方面也会有不同的主张。

以三角函数来说，有些老师会建议学生多记一些公式，比如三倍角公式。在我看来，三倍角公式的重要性远远不如和差化积公式，用到的机会也比较少。这类用得不多的公式，很容易记错记混。如果在考试中用了错误的公式而丢分，就亏大了。

归根结底，学数学就是学推导；靠「死记硬背」是学不好数学的。

事实上，用和差化积公式可以很轻松地推导出三倍角公式。

∵

∴

∵

∴