高考函数例题,高考函数题目

1.高三函数题，谢谢！！

解：f(x)=x?-3x+1/(x-1)+3

f'(x)=2x-3-1/(x-1)?

令f'(x)=0得：

2x-3-1/(x-1)?=0

(2x-3)(x-1)?=1

2x?-7x?+8x-4=0

(x-2)(2x?-3x+2)=0

则x=2

∵1<x<2时，f‘(x)<0

x>2时，f'(x)>0

∴fmin=f(2)=4-6+1+3=2

高三函数题，谢谢！！

(I)e^x是单调递增函数，因此只要a>0，f(x)就是单调递增函数；

f(x)只与y轴相交，交点A:x=0，y=a；

g(x)=ln(x/a),只与x轴相交，交点B:x=a，g(x)=0;

OAB是等边直角三角形，|AB|=a√2；

点到曲线的距离，与点到直线的距离意义一样，由该点项曲线作“垂线”，点与垂足的连线就是点到该曲线的距离，这个距离在垂足附近最短。这个“垂线”指的是，距离线与垂足处曲线的切线相互垂直。

|AB|是f(x),g(x)上最短距离，意味着，f(x)在A点的切线，g(x)在B点的切线都垂直于AB，AB斜率kAB=(0-a)/(a-0)=-1,切线斜率k=1

f'(x)=ae^x,f'(x)=a=1,

g'(x)=a/x*(1/a)=1/x

g'(a)=1/a=1

a=1

(II)a=1，不等式成为：(x-m)/lnx≥√x，x>0;√x>0;

x=1时，lnx=0，不等式左边无定义，因此以此点分界，分别讨论：

0<x<1时，lnx<0,但是(x-m)/lnx≥√x>0，因此，x-m<0,m>x,必须有m≥1;

(x-m)≤√xlnx，设z=（x-m)-√xlnx≤0；

z'=1-lnx/2√x-√x/x=1-lnx/2√x-1/√x=1-(0.5lnx+1)/√x=1-(ln√x+1)/√x=1-ln[1/(√x)^(√x)]-1/√x

0<x<1;0<√x<1;1/√x>1;0<(√x)^(√x)<1,1/(√x)^(√x)>1,ln[1/(√x)^(√x)]>0;

因此，z'<0,函数递减，只要x->0时，z<0即可；

x->0时，√xlnx是0*∞型不定式，用洛必达法则,先化成∞/∞型，分子分母分别求导：

√xlnx《=》lnx/x^(-0.5)《=》(1/x)/(-0.5x^(-1.5))=-2√x->0,

x->0时，z->-m<0,m>0即可。

因此：m≥1；

x>1时，lnx>0,x-m≥√xlnx>0,x-m>0,m<x,对于所有x>1,恒成立，因此m≤1.

设z=（x-m)-√xlnx≥0；

z'=1-ln[1/(√x)^(√x)]-1/√x

x>1,√x>1,0<1/√x<1,(√x)^(√x)>1,0<1/(√x)^(√x)<1,ln[1/(√x)^(√x)]<0,

z'=1-ln[1/(√x)^(√x)]-1/√x>0,x>1时，z单调递增，只要x->1时，z≥0即可；

x->1,z->1-m≥0,m≤1.

结合起来，m=1；

F(x)=f(x)+g(x) F(-x)=f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)

F(x)+F(-x)=2g(x) 则 g(x)=x^4+bx^2+d f(x)=ax^3+cx

g(根号2)=4+2b+d g(0)=d g(1)=1+b+d

g(根号2)+g(0)-2g(1)=4+2b+d+d-2(1+b+d)=2

1、先说明下，条件"对任意x属于-根号2到根号2（闭区间），恒有F（x）绝对值小于0.5"应为"恒有F（x）绝对值小于等于0.5"

x属于-根号2到根号2(闭区间)时，

\2g(x)\=\F(x)+F(-x)\≤\F(x)\+\F(-x)\≤1 \g(x)\≤0.5

则有 \g(根号2)\≤0.5 \g(0)\≤0.5 \g(1)\≤0.5

由第1问知道 g(根号2)+g(0)-2g(1)=2≤\g(根号2)\+\g(0)\+2\g(1)\≤2

不等式等号成立的条件是 g(根号2)=g(0)=0.5 g(1)=-0.5

因此解出 b=-2,d=0.5

-0.5≤F(1)≤0.5 且 -0.5≤F(-1)≤0.5

-0.5≤1+a+b+c+d≤0.5 且 -0.5≤1-a+b-c+d≤0.5

将b=-2,d=0.5代入上面两个不等得： 0≤a+c≤1 且 -1≤a+c≤0

所以a+c=0

注：此问的关键在于分析第一问与所给条件的关系,2是4倍的0.5，等式左边也刚好是4个数，解法自然出现了。(一般这种题目第一问都是对下面的提示，以后再做这种题目就应该注意了。但不要拘泥于此，下次如果这种方法行不通，应该立刻想别的办法，要保持思维的发散！！)

2、f(x)=a(x^3-x)

a=0时，f(x)=0 原方程为 0＝x/(x^2+1) 只有一个解x=0 不符合条件，舍去

a不等于0时,原方程为：a(x^3-x)＝[a(ax+1)]/(x^2+1)

(x^3-x)(x^2+1)=ax+1 即 x^5-(a+1)x-1=0 令T(x)=x^5-(a+1)x-1

T(X)的导函数为K(x)=5x^4-(a+1)

a=-1时,方程x^5-1=0只有x=1一个解，不符合，舍去

a<-1时,K(x)>0,T(x)在[-2,正无穷)上为增函数，方程T(x)=0最多有一个解，不符合，舍去

a>-1且a不等于0时，由K(x)=0解得X=[(a+1)/5]^(1/4)或X=-[(a+1)/5]^(1/4)

则可知T(x)在[-2,-{(a+1)/5}^(1/4)]上为增函数，

在[-{(a+1)/5}^(1/4)，{(a+1)/5}^(1/4)]上为减函数，

在[{(a+1)/5}^(1/4)，正无穷)上为增函数。

方程T(x)=0的三个解必在T(x)的三个单调区间上

则有:T(-2)≤0,T(-[(a+1)/5]^(1/4))>0,T([(a+1)/5]^(1/4))<0,

由-2<-[(a+1)/5]^(1/4)得a<79

由2(a+1)-33≤0,[(a+1)/5]^(5/4)>1/4,[(a+1)/5]^(5/4)>-1/4

得a≤31/2,[(a+1)/5]^(5/4)>1/4 即 a>-1+5/256^(1/5),

所以a的取值范围是(-1+5/256^(1/5),0)并(0,31/2)