2009高考数学一卷,2009高考数学全国卷

2009年辽宁省高考数学试题分析与评价

2009年高考，作为辽宁省实施新课程改革后的第一次高考，引起了广大中学数学教师的高度关注。从这份试卷中可以获得哪些信息？它对中学数学教学有哪些启示？对2010年的高考数学复习备考会产生怎样的影响？下面就此谈一些看法，希望能给广大同仁提供帮助。

1.试题总体概说

2009年辽宁高考数学试卷基本上贯彻了《2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲》和《辽宁省考试说明》确定的高考命题的指导思想和命题的原则与考试要求，文理试卷融入了新课程改革的理念，较好的体现了“平稳中重基础，朴实中显特色”的命题思路，真正实现了新课程改革下的高考试卷与传统高考试卷的平稳过度。文科与理科全卷布局结构合理，试题立足基础、突出主干、能力立意。命题中正视了文理科考生的差异，合理地设计了文理试卷的难度系数，试后初步估计文科试卷难度系数0.6左右,理科难度系数0.5左右。两张试卷很好地体现试题的信度、坡度、效度、区分度，有利于社会的和谐与稳定，有利于高校选拔人才,有利于中学实施素质教育，有利于培养学生的创新精神与实践能力。它为2010年高考的数学复习指明了方向，为推动高中新课程的数学教学改革，发挥了良好的导向作用。

2.试题的主要特点分析

2.1 立足基础，突出主干

2009年辽宁数学试题注重考查基础知识和基本技能，多数试题的综合性不强。如理科选择题的第1—7题和第10题、填空题第13、14题和第16题，都只是单纯地考查1~2个知识点，没有知识间的交叉；解答题的第17、18（I）、19（I）、20（I）题以及选作题也都只考查基本的知识和技能，这些题约占整个试卷的65%。这些试题一方面突出体现了考试大纲中“平稳过渡”指导思想，另外也较好地贯彻了课程标准中“获得必要的数学基础知识和技能”的数学课程目标要求。今年的辽宁高考数学试题对函数与导数、三角与向量、概率与统计、数列、不等式、立体几何、直线与圆锥曲线的考查约占全卷的70%，较好地体现了考试大纲提出的“对数学基础知识的考查，要求既全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成试卷的主体”的考查要求。

2.2 关注课改，注重教材

2009年辽宁数学试卷中，对课改中新增内容给予了足够的重视。诸如算法、三视图、几何概型、统计知识、事件的独立性检验、简单逻辑用语，以及理科的空间向量、条件概率等知识在试卷中都有所体现。今年我省理科数学试卷中新增内容约占14%、文科试卷中新增内容约占17%。可以说，对新增内容基本上做到了全面覆盖，但考虑到新增内容必须有一个逐步适应的过程，对这些内容考查的难度要求都比较低。另外，试卷中相当数量的试题在教材中都有原型，例如理第6题和文科第8题分别是由必修5中2.3等比数列一节中练习B第2题和必修4中1.2.2同角三角函数基本关系式一节中练习B第2题改编而成；理第16题是由选修2—1中2.2椭圆一节中习题2—2B第2题：“已知点A(1,1),而且 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任意一点，求 的最小值和最大值”迁移而来；第17题是三角应用题，它是由必修5中1.2应用举例一节中练习A第1、2两小题捏合而成。选择题第12题由函数中经典问题：已知 是方程 的解， 的解，则 演化而来。

2.3 注重思想方法，突出思维能力考查

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，以对数学知识的考查为载体，反映考生对数学思想和方法理解与掌握的程度。2009年辽宁数学试卷在数学知识的考查中，注重考查了考生对数学思想和方法的理解和掌握程度。整份试卷注意研究题目信息的配置，考虑从不同角度运用不同的方法，创设多条解题途径，有效地区分不同层次学生的思维水平。如理科试卷中第12题考查数形结合思想；第19(II) 题和第21(I)题主要考查分类讨论思想；第10题和第21(II)题考查函数与方程、转化化归等思想。在试卷中对反证法、极限法、待定系数法等都有不同程度的体现。文科试卷中第20题强化了对学生概率与统计知识和独立性检验知识的考查，特别是对学生的计算能力要求较高。

2.4 注重通法，淡化技巧

2009年辽宁数学试卷突出考查常规方法和通性通法，淡化特殊技巧，较好地体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力为考查目的的命题指向。全卷没有直接考查纯记忆的陈述性知识，注重考查知识的运用能力及学生的计算能力和推理论证能力等等。由于立足基本方法和通性通法，整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，并且实现了解答题低起点、宽入口、逐步深入的格局。整卷新题不难，难题不怪，题型常规但不失难度，有助于检测考生对数学学科知识理解、掌握和运用情况，更有利于学优生充分发挥水平，展示实力，有利于区分和选拔。

2.5 打破常规，推陈出新

新课程改革的一个重要理念就是要重视培养学生的应用意识和应用能力，培养学生的探究、发现和创造能力。2009年辽宁数学试卷对此考查的题目量大并且达到了一定的深度。如第10题考查算法；理科第13题考查统计；理科第17题和文科第18题考查三角函数的应用；理科第19题和文科第20题考查概率统计；理科第17题考查学生运用所学知识探究新问题的能力。

新课程标准与教学大纲对某些知识的要求发生了变化，例如新课程标准中提高了对正、余弦定理应用的要求，增加了证明方法中的反证法等。这些要求的变化，导致高考试题的命题点发生改变。2009年辽宁卷中理(17)对三角函数知识的考查从原来的三角函数的化简、求值、图象、性质等问题转变为三角实际应用问题；理（18）对立体几何知识的考查从原来立体几何中的平行、垂直关系的证明、二面角的求解等问题转变为求直线与平面所成角和用反正法证明两条直线为异面直线。文（21）对函数、导数、不等式的考查从原来的三次函数转化成两项积的导数问题。对于这些问题的考查乍看试题觉得有点意外，如果我们重新审视新课程标准后，觉得这些试题的出现是课改的必然。但对于这个问题也有不同的声音：有些老师认为文理科试卷中不成功的试题就是用反证法证明两条直线是异面直线，它没有考出新课改所提倡的立体几何经典内容。这道题所涉及的异面直线的证明在考纲和考试说明中都是模糊内容，学生与教师对它很难把握到位，因为数学课的教学内容多、课时紧，若所有知识按这种形式去要求学生，一定会进一步增加学生课业负担，面对新课程改革教师最大的疑惑是：新课标中没有提到或是淡化而传统教学中又比较经典的内容怎样去把握？这道题的引导中学教学的指挥棒作用非常值得我们思考与研究。该题理科第一问也没有体现利用空间向量解题的优越性，对于立体几何的考查就是“穿新鞋走老路”。我认为2009年文理科立体几何试题对学校教学的影响是很大的，最直接的后果是教师会盲目进行拓展训练，数学科的中差学生会越来越累，影响学习数学的积极性。

2.6文理试题区别增大

根据辽宁省文理科学生的实际情况，与往年相比，2009年文理科数学试题文理共用试题数量有所下降。其中文理共用试题数量是9道题，其中有填空题第15题、解答题的文科第18题与理科第17题、文理科第18(II)题、文科第22题与理科第20题，其余是选择题中的文（2）与理（2），文（4）与理（3），文（7）与理（4），文（12）与理（9），文（10）与理（10）。从上面统计结果可以看出文理试题的难度差别较大，全卷有13道题文理科采用了不同试题。在文理不同的试题中，文科的难度都小于理科的难度，这样做有利于激发文科学生学习数学的积极性，促进文科学生全面发展。

总之，试题在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，综合程度调控合理，注重多角度，多层次。不过试卷中也存在略有不足之处，例如理科试卷中两道立体几何小题都考查求几何体的体积、两道数列小题都与数列的前 项和有关，在考查这两方面知识时略显单调。

3.09年高考数学试题留给我们的教学启示

3.1 对课改中新增内容应予以重视

新课改中新增内容为高考命题既增加了素材、拓宽了空间，更为创新题型提供了背景、思想，在学习中对新增内容更应加大关注程度。2009年辽宁数学卷对新增内容的考查还比较简单，综合性不强，随着课改的深入，新增内容与传统内容将逐渐融合，它主要表现为：算法与数列、函数、不等式等内容的有机结合；几何概型与函数、方程、不等式、解析几何、立体几何等知识的有机结合；类比推理与几何、数列等知识相结合等。高考试题在新增内容的考查力度、难度也将出现新的变化，在这方面我们应有心理和行动上的准备。

3.2 对于知识点的复习不留空白

2009年辽宁卷理科第18（II）题（文科第19（II）题）是用反证法证明两条直线是异面直线，在判卷的过程中，我们发现这个问题90%的学生不能得满分，多数只能得2分，到现在，部分师生仍对这个问题的出现感觉非常意外。原因是多方面的，但我们分析其根本原因还在于很多老师在高三复习中只关注反证法原理的复习，对异面直线的概念强调不够，导致学生不会得出矛盾的结论。因此对任何知识点不应不复习，也不应轻描淡写，复习时基本知识点的覆盖务必力求全面系统。为避免学生遗忘，教师可在第二、三轮复习时，有计划地将这些非主干知识安排在历次考试后进行查缺补漏。

3.3 加强学生的计算能力，注重知识的综合，培养学生的探究能力

今年辽宁省的考生普遍感觉数学试题难度不大，但计算量大。新课程的基本理念之一是“发展学生的数学应用意识”，数学应用最终是通过运算求解来实现的，这就要求学生具有扎实的运算求解的能力。算法的引入，圆锥曲线的第二定义的删除，都与加强学生运算能力有关。无论从考试还是从学生发展的角度，都应把运算能力的训练贯穿复习的始终。在实际训练时，还应避免繁琐的和人为技巧化的运算。

今年是宁夏、海南课改后的第三次高考，试题难度已明显增大，综合性也有了提高。特别值得注意的是理科第17题，原题是这样表述的：“为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。”

这是一道具有现实背景的开放性试题，考查学生学以致用的能力，彰显了高考命题中“以能力立意”的基本要求。从这一点来看，今后辽宁省的命题方式和命题思路也将有大的改变。因此复习时，不但要逐步培养学生解决实际问题、综合题的能力，还要加大学生数学建模、开放、探究问题的训练力度。

3.4 提高教材的利用度

教材是数学知识和数学思想方法的载体，又是教学的依据，理应成为高考试题的源头。事实上高考命题中十分注重教材习题的作用，注意发挥教材作为试题根本来源的功能。研究高考数学试题可以发现，每年均有一定数量的试题是以课本习题为素材，通过变形、重组、延伸与拓展来命制的题目。2009年辽宁卷中也有相当一部分试题源于教材，这些试题既有效地考查了数学基础知识，又为教师的“备课、教学、辅导、批改、命题、考试、讲评”提供了良好的导向功能。因此，在高考复习中，要回到教材，而且要做到对教材的深层次理解。教材是基础，教材就是高考试题的策动源。

3.5关注“高等背景，初等解法”

无论从“为高校选拔新生”的要求，还是“高等背景”问题独有的魅力。高考数学试题中经常会有一部分来源于高等数学背景的试题，如09年辽宁卷理第21（II）题实质就是高等数学中的“拉格朗日中值定理”。近几年还出现了利用不动点求递推数列的通项公式、确界原理、函数的凹凸性等高等数学背景的试题，对于这些问题在高考题中的出现，我认为只是创设了一种情境，并不要求学生用大学中的工具去解决这些问题，也不要求老师过多的去给学生讲高等数学的知识，备考中应把重心放在问题的转化和运用初等数学的知识加以处理的方法上。

3.6加强新课标的研讨

新课改给高考带来了新的活力，为了更充分的备战高考，广大教师必须要加强对新课标的研讨，深入理解新教材知识结构上的变化、新课标在能力要求上的变化，才能更好的把握高考、适应高考。

二、高三复习备考策略

首先，我们一起来回顾一下，高考的共同的基本经验。

第一关键词：时间表

通常被称为三轮复习：

第一轮复习，基础能力过关（7月中旬――次年2月底）。阅读教材，使知识系统化，提升应用能力。

第二轮复习，综合能力突破（3月初――5月中旬）。强化主干内容，把握知识联系，通过解题训练，提升实战能力。

第三轮复习，应用能力提高（5月中旬――5月底）。运用模拟题目，通过考试与评讲，把握规律，强化记忆，进入考试状态。

第二关键词：路线图

复习的程序是什么？这个程序就是强调基础，从基础出发，由基础到能力；就是强调课本，从课本出发，在融会贯通课本内容的基础上整合。根据这样的程序，几乎每一位谈论高考的人都在众口一词：依纲靠本，创新求活；立足教材，注重“双基”；突出主干内容，强调通性通法；重视思想方法，提高思维品质。而且主干内容是什么，思想方法有哪些，我们都如数家珍。

第三关键词：方针

高考要求我们，必须研究《考试大纲》，必须研究近年来的全国试题和本省自主命题的试题，必须了解课程改革发展的趋势，从中可以对未来的试题做出种种猜想：我们虽然不能说某类题在2010年的试卷中一定会出现，但我们可以推测具有某些特征的题在2010年的试卷中可能会出现。某个具体的题出现是偶然的，但某类题的出现是有规律的。正是根据《考试大纲》、往届试题和课改理念，我们才能深刻地体会高考命题的四个原则：重点内容重点考查，在知识的交汇点设计试题，加强思想方法的考查，不单纯追求覆盖面。

第四个关键词:试题来源

（1）课本是试题的基本来源，是高考命题的主要依据，大多数试题的产生是在课本题目的基础上组合、加工和发展的结果。

（2）历届高考题目成为新高考题目借鉴，先例可循。在对试题进行预测时，频率最高的一个关键词就是稳定，在稳定的前提下创新。强调稳定，也就是承 认命题是一种自然的发展，不会突变，命题不能割断历史，如应用题的发展史、选择题目的进化史、多学科相互联系的交互史等。历年试题呈现一种规律性的东西， 它的发展和变化轨迹会给我们很多启示。作为省自主命题，更是如此。只要我们把自己设想为一个命题者，作一点换位思考，这个道理也就非常明白了。

（3）平时学生学习中的一些经典试题，可能会改编成高考试题。对于经典问题不仅扎根与我们教师的头脑中，而且高考命题组成员对这些问题也熟滥于心，对这些试题稍微加工就可能成为高考试题。

（4）高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提供背景。这是由两个基本原因构成的，一是高考题要考查学生进一步学习的潜能。高等数学的基本 思想、基本问题可以成为考查潜能的良好素材。二是命题者的背景，命题组成员中大学教师占绝对优势，他们在命题时不可能不受自身学术背景和学术兴趣的影响。

这四个来源启示我们，高考复习的课程资源如何开发？应在考试大纲统领下，在课本、《课程标准》及其相关资源、历届高考试题和初、高等数学的衔接地带对四个方面去探索。

接下来就高考三轮复习的具体安排结合自己在高三复习过程中的一些做法与大家交流。

第一轮复习

（一）.数学知识内容整合.

第一部分：集合与逻辑

第二部分：不等式

第三部分：函数与导数部分

第四部分：数列部分

第五部分：三角函数和解三角形

第六部分：向量和解析几何部分

第七部分：立体几何部分（文与理）

第八部分：概率统计部分（文与理）

第九部分：算法

第十部分：推理与证明

第十一部分：复数部分

第十二部分：选考部分

特点：打破模块之间的界限，按知识板块之间的顺序安排复习，使学生易于把握知识系统

（二）一轮复习中要解决的几个重点问题

1.强调基础、强化规范

我们不能以高考卷最后两题的难度组织复习，尤其是一轮复习。强调在复习过程中要重视基础，扎扎实实。所谓知识基础我认为也就是指“基础知识要熟悉；基本技能要熟练；基本思想要领会；基本方法要掌握。”

2.强化训练（巩固战术）、总结概括

高三复习是使学生对于高一、高二学习中遗忘的、模糊的知识变得熟悉并且能够应用这些知识解决问题的过程，在这个过程中学生要通过作一定量的习题来熟悉并巩固这些知识，从而达到对知识深刻理解的程度，在这个过程中光做题不行，在做题的同时学要自己不断的总结，最后达到使知识、方法变成自己的东西。这样才能达到复习的目的。

3.教师要处理好讲练关系

高三复习课不能学生光练，教师更要讲，究竟要讲什么？怎样讲？我认为，教师首先要了解学生主要缺什么，要根据学生的需求来讲，不做无目的讲解。讲的过程中重点要澄清概念，归纳方法，教会思考。用准确、简洁的语言，讲清复杂、难懂的问题。

讲知识，要讲联系（横向，纵向，内部，外部）；

讲方法，要讲思想（讲原理，讲从何想起）；

讲结果，要讲过程（不仅关注答案，更讲来源、过程）；

讲解题过程，要讲思维过程（怎么想到的？）；

讲习题，要讲变化；

讲成功，也讲失败；

总之，讲数量，更讲质量。

4.编制适合自己学生的作业本

适合才是最好的，目前高三一轮复习备考资料太多，让我去给学生选不知该选那本。自己的学生自己最了解，根据学生情况教师自己编制作业本。育才高三学生都用《育才学案》，分一轮、二轮，一轮学案中的题目以基础题、常规题、经典题为主，这些题目要求每个学生都要完成，《育才学案》的最大优点就是不给学生答案，要求学生每题都要亲自去动手做，我一向认为亲身经历才是解决问题的最有效途径。目前市面上很多的参考书，答案给的过于详细，导致学生太多的依赖答案，不利于学生的学习。

5．对知识做到“清清楚楚几条线，而不是模模糊糊一大片”

教新课标教材的老师对“知识呈螺旋式上升”这句话一定不陌生，这使得学生对高中数学知识的总体脉络，并不是太清楚，因此，高三复习中很重要的一个环节是帮助学生构建知识网络，形成良好的知识结构与经验体系。有利于学生记忆、理解知识，便于知识的迁移与运用。

6. 把握重点,注重落实通性、通法

1) 函数性态的研究：定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、反函数、图像、最大（小）值.

2) 不等式：抓好基础--不等式的性质、抓住重点--不等式的解法、突破难点--不等式的证明，注意不等式的工具作用

3) 两个基本数列与数学归纳法：注意可以通过适当转化，化为等差数列或等比数列的某些数列,注意数列综合题。

4) 立体几何中的线面关系：重点放在平行与垂直关系和几种角和距离。注意以多面体与旋转体为情境，考查线、面位置关系.

5)解析几何的圆锥曲线:重点是曲线与方程,要掌握求曲线方程的常用方法.直线与圆锥曲线的关系,如交点问题,弦长问题,弦的中点问题,对称问题,范围问题等.新课程试卷要注意用向量解决解析几何有关问题。

6）平面向量：一是抓好向量的加减、实数与向量积（数乘）；二是抓好向量的坐标运算及应用；三是抓好向量的数量积（点乘或内积）及其应用。

7）三角函数的图像、性质、三角变换：落实基本要求、掌握通性通法.

8）复数：已降低要求,不要拔高，掌握基本要求，常用方法.

9）概率统计的复习要注重基础.

10）注意二次函数、二次方程、二次不等式的相互转化和灵活运用.

7.渗透数学思想方法

1) 转化与化归的思想:简单化,熟悉化,和谐化.

2) 函数与方程的思想:重要的观点和方法.

3) 分类讨论的思想:不重复,不遗漏.

4) 数形结合的思想:依数判形,就形论数.以及教会学生善于将一个数学对象用数字、符号、式子、图形（图象）表示。

通过平时的学习要帮学生树立强烈的数形结合的意识，使学生具有较强的分类讨论的能力。

09全国一卷

今年高考数学可能呈现以下几个特点：

第一总体试卷难度比较适中。题型也比较常规，因为考察一个学生掌握基础知识的能力和水平，是高考数学的一个重点目标。所以每年在高考数学试题当中涉及基础知识和基本技能的考察占很高比例，而且也会保持必要的深度。所以我们从试卷上来看，题目覆盖面比较广的。涉及到高中数学各个知识点，非常全面而且内容非常基本，从考题来看，考生一拿到试卷以后，我想最起码不会感到紧张，所以答题会比较顺利，即使试卷中有一两道难题，也不会造成很大心理压力，所以这个也符合我们现在高考课程改革的方向这种趋势，就是重点考察基础知识。而且从我们日常教学和高考答题的情况来看，学生出现的失误，主要还是缺乏灵活的思想方法，敏锐的观察力，也是恰恰问题发生在基础知识之上掌握得有些欠缺。

另外考题还是能够从整体的高度，学科知识结构高度来把握，来设计题目，衡量一个考纲一个重要方向，就是能不能形成有序的，网络化的知识结构，全国一卷和北京卷这个方面设计题目的时候做了很好考虑，这是第一个特点，难度比较适中，题型比较常规。试卷中涉及的题目绝大部分是模拟考试中复习过的题目，学生心里上有一定稳定作用。

第二个特点，考试题目仍然是重点考察数学思想方法，没有技巧性的东西，试卷中反映出命题没有出现偏题怪题，运算量上来讲也比较低，也没有繁杂的运算，这样对考生在考场上发挥会有好处的。而且全国卷有些难题，比如第21题数列，通过试题多层次设问，降低试题难度。体现了对考生人文关怀，也是符合当前课改和教学改革的方向。

第三个特点，因为高考毕竟是选拔性考试，还要突出考察学生数学能力和他的潜能。就我们数学来讲，基本上要考察四大能力。第一个就是运算能力，第二个思维能力，第三个空间想象力，第四，就是分析问题和解决问题能力。这两份试卷中看到四种能力有比较全面的考察，而且考察得比较到位。谈到考察的学生的潜能，我们说这个事情刚才讲了难度比较适中，但是从选择题，填空题，后面都有一部分难点，或者思维比较大的题目。这种题目是我们在高三复习备考过程中，或者课本例题中，模拟中遇到比较少的，题目设计比较新颖，有利于考察一个学生真正的数学素质和他临场发挥的水平，这样才能够把学生的真正选拔出来。

前面试题难度比较适中，是不是会削弱区分能力的试卷呢？其实我想也不会，因为高考除了考察一个学生对基础知识掌握的程度，或者从试卷上来判断一个考生答题正确程度以外，还有一个重要方面考察考生答题素质，如果思维水平比较好的学生，数学素质比较高的学生，考场上答题速度比较快，而且运算准确性要好一些，但是这带来一个什么好处呢？就是为后边解答难题腾出了时间，所以相应反映在数学总分上来讲，比其他同学有一些优势体现出来。

还有一个特点，就是数学试卷从全国一卷，北京卷来看，今年的题目，从题目叙述上来讲比较简洁，文字比较清楚，因为数学阅读也是学生比较难过的一关，也是一个障碍，有的时候题目叙述比较长，里面使用的新的术语比较多，也会给学生造成一定困难，从今年题目来看都没有出现这种情况，比较简洁，学生很容易读懂题目，文字叙述量很少，一般都超不过两三行之内。原来北京的题文字叙述比较长，学生理解比较困难，今年从这方面来讲有一些改变，所以用原来考试卷来说这个题目设计得比较精致，所以这两份题应该说还是非常好的。

考题反映上来看，今年考分比去年应该略有上升，当然也取决于考生在考场上发挥的情况，虽然考题比较基本，但是我发现也有一些学生失误主要就失误在基础知识上，所以我们建议考生复习还是抓住基础知识。

相对今年试卷变化不大，比如说试题结构上来讲，北京卷和全国卷都维持几年之内都比较稳定，都没有变化。另外一个，就是考察的内容也没有什么大的变化。反映出来咱们无论是教育部考试中心，还是北京市考试卷都坚持一个稳定，这样才能对高中数学教学起到很好的指导和导向作用，不至于出现大起大浮。为今后的复习和教材提供机率。

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。

锥体的体积公式V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).

事件A在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件A恰好发生 次的概率: .

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合 , ,若 ,则 的值为( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析:∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

答案:D

命题立意:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

2.复数 等于（ ）.

A． B. C. D.

2. 解析: ,故选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:C

命题立意:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.

3.将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).

A. B. C. D.

3. 解析:将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 即 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为 ,故选B.

答案:B

命题立意:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A. B. C. D.

解析:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面

边长为 ，高为 ，所以体积为

所以该几何体的体积为 .

答案:C

命题立意:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地

计算出.几何体的体积.

5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的

一条直线，则“ ”是“ ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的

一条直线, ,则 ,反过来则不一定.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:B.

命题立意:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.

6. 函数 的图像大致为( ).

解析:函数有意义,需使 ,其定义域为 ,排除C,D,又因为 ,所以当 时函数为减函数,故选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:A.

命题立意:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

7.设P是△ABC所在平面内的一点， ，则（　　　）

A. B. C. D.

解析:因为 ，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

答案：B。

命题立意:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，

可以借助图形解答。

8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品

净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),

[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且

小于104克的产品的个数是( ).

A.90 B.75 C. 60 D.45

解析:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,

已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为 ,

则 ,所以 ,净重大于或等于98克并且小于

104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本

中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

120×0.75=90.故选A.

答案:A

命题立意:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.

9. 设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A. B. 5 C. D.

解析:双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,

所以 , ,故选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:D.

命题立意:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

解析:由已知得 , , ,

, ,

, , ,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

答案:C.

命题立意:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

11.在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).

A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即 时,要使 的值介于0到 之间,需使 或 ∴ 或 ，区间长度为 ，由几何概型知 的值介于0到 之间的概率为 .故选A.

答案:A

命题立意:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得.

12. 设x，y满足约束条件 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，

则 的最小值为( ).

A. B. C. D. 4

解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,

目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 = ,故选A.

答案:A

命题立意:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.不等式 的解集为 .

解析:原不等式等价于不等式组① 或②

或③ 不等式组①无解,由②得 ,由③得 ,综上得 ,所以原不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:

命题立意:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.

14.若函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析: 设函数 且 和函数 ,则函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点, 就是函数 且 与函数 有两个交点,由图象可知当 时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数 的图象过点(0,1),而直线 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是

答案: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

命题立意:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

15.执行右边的程序框图，输出的T= .

解析:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30

答案:30

命题立意:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以

反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,

注意每个变量的运行结果和执行情况.

16.已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析:因为定义在R上的奇函数，满足 ,所以 ,所以, 由 为奇函数,所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知 ,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,不妨设 由对称性知 所以

答案:-8

命题立意:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,

对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

三、解答题：本大题共6分，共74分。

17.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2) 设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.

解: （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.=

所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） = =－ , 所以 , 因为C为锐角, 所以 ,

又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.

命题立意:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.

（18）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。

（1） 证明：直线EE //平面FCC ；

（2） 求二面角B-FC -C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D 中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CD=//A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为 平面FCC ， 平面FCC ，

所以直线EE //平面FCC .

（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A B C D 中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC -C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中, ,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵ ∴ , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

在Rt△OPF中, , ,所以二面角B-FC -C的余弦值为 .

解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（ ,-1,0）,F（ ,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（ , ,0）,E1（ ,-1,1）,所以 , , 设平面CC1F的法向量为 则 所以 取 ,则 ,所以 ,所以直线EE //平面FCC . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） ,设平面BFC1的法向量为 ,则 所以 ,取 ,则 ,

, , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以 ,由图可知二面角B-FC -C为锐角,所以二面角B-FC -C的余弦值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

命题立意:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.

(19)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q 为0.25，在B处的命中率为q ，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0 2 3 4 5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p

0.03 P1 P2 P3 P4

（1） 求q 的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） 求随机变量 的数学期望E ;

（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, , P(B)= q , .

根据分布列知: =0时 =0.03,所以 ，q =0.8.

（2）当 =2时, P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.75 q ( )×2=1.5 q ( )=0.24

当 =3时, P2 = =0.01,

当 =4时, P3= =0.48,

当 =5时, P4=

=0.24

所以随机变量 的分布列为

0 2 3 4 5

p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24

随机变量 的数学期望

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

命题立意:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

（20）（本小题满分12分）

等比数列{ }的前n项和为 ， 已知对任意的 ，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记

证明：对任意的 ，不等式 成立

解:因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数的图像上.所以得 ,当 时, ,当 时, ,又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,

（2）当b=2时， ,

则 ,所以

下面用数学归纳法证明不等式 成立.

① 当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.

② 假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=

所以当 时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

命题立意:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

（21）（本小题满分12分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC, ,

其中当 时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

（2） , ,令 得 ,所以 ,即 ,当 时, ,即 所以函数为单调减函数,当 时, ,即 所以函数为单调增函数.所以当 时, 即当C点到城A的距离为 时, 函数 有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）设 ,

则 , ,所以

当且仅当 即 时取”=”.

下面证明函数 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.

设0<m1<m2<160,则

,

因为0<m1<m2<160,所以4 >4×240×240

9 m1m2<9×160×160所以 ,

所以 即 函数 在(0,160)上为减函数.

同理,函数 在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则

因为1600<m1<m2<400,所以4 <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160

所以 ,

所以 即 函数 在(160,400)上为增函数.

所以当m=160即 时取”=”,函数y有最小值,

所以弧 上存在一点，当 时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

命题立意:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

（22）（本小题满分14分）

设椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点,

所以 解得 所以 椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,

则△= ,即

, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .

因为 ,

所以 ,

,

①当 时

因为 所以 ,

所以 ,

所以 当且仅当 时取”=”.

② 当 时, .

③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时 ,

综上, |AB |的取值范围为 即:

命题立意:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.