调和点列和调和线束_调和线束高考

1.齐次化什么时候不能用

本节介绍完全四边形以及调和点列的性质.

完全四边形 :

我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.

如图,直线 、 、 、 两两交于 、 、 、 、 、 六点则四边形 即为完全四边形,线段 、 、 为其三条对角线.

性质1

在完全四边形 中,四个三角形 、 、 、 的外接圆共点(这点称为Miquel点).

证明

如图,设 与 的外接圆除交于点 外,还交于点 .

设点 在直线 、 、 上的射影分别为 、 、 .

由西姆松定理,知 、 、 三点共线.

同样,点 在直线 、 、 上的射影分别为 、 、 ,则 、 、 三点也共线.

故 、 、 、 四点共线.

在 中,点 在直线 上,点 在直线 上,点 在直线 上,且 、 、 三点共线,由西姆松定理的逆定理,知点 在 的外接圆上.

同理,点 在 的外接圆上.

故 、 、 、 的四个外接圆共点.

以下的性质2极为重要:

性质2

完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线所在直线平面几何相交,则该线被其他两条对角线所在直线调和分割.

设四边形 是平面四边形,对角线 和 交于点 ,对边 和 、 和 分别交于点 、 , 、 分别与 交于点 、 ,则 、 、 、 ; 、 、 、 ; 、 、 、 均为调和点列.

证明

如图,对于直线 截 、直线 截 、直线 截 ,分别应用梅涅劳斯定理得

,(1)

,(2)

.(3)

对于点 与 、点 与 、点 与 ,分别应用塞瓦定理得

,(4)

,(5)

.(6)

比较(1)和(4)、(2)和(5)、(3)和(6)分别得

, , .

所以, 、 、 、 ; 、 、 、 ; 、 、 、 分别为调和点列.

特别地,若 ,则视交点 在无穷远处,此时 .

上述三组调和点列仍成立.

性质3

在完全四边形 中,若 、 分别是 、 的中点,则

.

证明

如图,连结 、 得

调和点列

调和点列是射影几何学的重要内容,它在平面几何中也有着广泛的应用.

对于线段 的内分点 和外分点 满足 ,则称点 、 调和分割线段 或者 、 、 、 是调和点列.

我们允许无穷远点的存在,即规定如果 为无穷远点,则 ,也可以说,当 平分线段 时, 、 、 以及直线 上的无穷远点四点成调和点列.

性质4

对于线段 的内分点 和外分点 满足 、 调和分割线段 , 是线段 的中点,则有以下结论成立:

(1)点 、 调和分割线段 ;

(2) ;

(3) ;

(4) .

性质5

对线段 的内分点 和外分点 以及直线 外一点 ,给出四个论断:

(1) 是 的平分线;

(2) 是 的外角平分线;

(3) 、 调和分割线段 ;

(4) .

以上四个论断中,任意选取两个作题设、另外两个作结论组成的六个命题均为真命题.

这里仅对由论断(3)和(4)作题设,(1)和(2)作结论的命题给出证明.

证明

如图,不妨设 , .

由 知

, .

故 ,

.

所以 ,即 .

因此,结论(1)成立。

性质6

如图,过 引出四条给定的直线,直线 与这四条直线相交,交点分别为 、 、 、 ,则 为定值,这个比例称为交比.

证明

如图设角,则 .

同理, .

所以 为定值.

特别地,若上述定值为 时,则 、 、 、 成调和点列.

此时称直线 、 、 、 成调和线束.

容易发现,共点的四条直线成调和线束的充要条件是任作一不过它们交点的直线截四条直线所得的交点成调和点列.(注意:如果该直线与四条直线之一平行,命题仍有效,这时有一点为无穷远点)

由此可得

定理1

如图,设过 的线束 、 、 、 分别交不过 的两条直线 与 于 、 、 、 、 、 、 、 ,其中 在直线 上,等等.

那么 、 、 、 成调和点列的充要条件是 、 、 、 成调和点列.

以后使用该结论时统一称 为中心.

下面介绍两个比较常用的基本图形:

如图,若线段 的中点为 , 为直线 外一点,则 、 、 以及过 且平行于 的直线成调和线束.

如图,若四条直线 、 、 、 成调和线束,则 的充要条件是 、 与 的夹角相等.

性质7

设 、 、 、 共线,则 、 、 、 为调和点列的充要条件是,从线段 的中点 起,截同向线段 及 ,使这线段的一半长为比例中项,即 .(如图所示)

推论1

圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是,这两个圆正交.(两圆正交是指过它分别作两圆切线,则这两条线垂直)

推论2

如图,设点 是 的内心,角平分线 交边 于点 ,射线 交 的外接圆于点 ,则射线 上的点 为 的旁心的充要条件是是 .

事实上,若 为 的旁心,如图,则易知,三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割,于是有 ·

显然 、 、 、 且圆心为 .

于是 .

反之,若 ,同一法证得 为 的旁心.

齐次化什么时候不能用

先天性色觉障碍通常称为色盲，它不能分辩自然光谱中的各种颜色或某种颜色。而对颜色的辨别能力差的则称色弱，它与色盲的界限一般不易严格区分，只不过轻重程度不同罢了

色盲(弱)患者生来就没有正确的辨色能力，并且以为别人也和自己一样，故不能自觉有病，许多色盲患者眼部检查也无异常发现。当红、绿色彩特别明显或单一出现时，患者往往凭借独特的经验加以区分，因此色盲(弱)只有通过专门的色觉检查才能判定。色觉检查的方法一般有色盲检查镜、色盲检查灯、假同色表(色盲检查表)和彩色绒线束等

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齐次化在非涉及斜率关系时不能用。根据查询相关公开消息显示，齐次化在非涉及斜率关系时不能用，比如调和线束2/k1=1/k2+1/k3，或者它的推广，对合线束akk+b（k+k）+c=0过定点之类的，或者纯粹的凑出来的斜率关系，都可以。